[Linear Algebra] #08 Solution of linear systems

Theorem 1」 Fundamental Theorem for linear systems

a) Existence

rank($A$) = rank($\widetilde A$) ↔ 근이 존재

 

b) Uniqueness (근이 1개)

rank($A$) = rank($\widetilde A$) = n (#unknown)

 

c) Infinitely many solution (근이 ∞)

rank($A$) = rank($\widetilde A$) < n (#unknown)

 

 

 

Theorem 2」 Homogeneous linear system

Ax = 0 를 만족시키는 linear system

 

식㉮ Ax = 0

 

· 만약, Non-trivial solution 이 존재하나다면 rank(A) < n 인 조건이 필요

→ 의미 : ① rank(A) < n

              ② Nullity 가 발생 (Nullity ≠ 0)

              ③ Null(A) 존재

              ④ A 는 Linearly dependent

 

 

· 만약, rank(A) = r < n 이면, x = 0 과 n - r 차원의 vector space, 즉 solution space 가 존재한다.

*solution space : Ax = 0 을 만족하는 Null(A) 가 존재

 

 

· 만약, x1 과 x2 가 solution vector 라고 한다면, 임의의 c1, c2 값에 대해

x = c1x1 + c2x2 는 식㉮ 를 만족한다.

 

→ 만약 Ax1 = 0, Ax2 = 0 이라면, x = c1x1 + c2x2 는 식㉮ 를 만족한다.

→ Ax = A(c1x1 + c2x2) = c1Ax1 + c2Ax2

                                     = 0c1 + 0c2

                                     = 0

 

 

 

* Homogeneous linear system (Ax = 0) 의 solution space 는 Null(A) 가 된다.

 

 

 

Theorem 3」 Homogeneous linear system with fewer equations than unknowns

→ # equation < # unknowns

→ 반드시 Null(A) 가 존재

→ Non-trivial solution 존재

 

 

 

Theorem 4」 Non-homogeneous linear system

 

식㉯ Ax = b

 

· 식㉯ (Ax = b)이 해를 갖는다면, 근 $x = x_p + x_h$ 가 된다.

→ General solution : $x = x_p + x_h$

 

· $x_p$ 는 식㉯ 를 만족하는 하나의 해이며, $x_h$ 는 식㉮ 를 만족하는 임의의 해이다.

 

 

 

Proof. x 가 Ax = b 의 general solution 이라면, $x_h = x - x_p$ 는 Ax = b 의 근이다.

∵ $A x_h = A(x - x_p)$   =   $Ax - A x_p$   =   $b - b = 0$

                      ∴ $x = x_p + x_h$ 의 형태가 된다.

 

 

 

 

 

 

 

 

Summary.  $Ax = b$ 풀이

 

1. 근이 유일 (1개)

 

a) $Ax = b$    →   $x = A^{-1} b$

$A^{-1}$    →   [$A$ | $I$]    →   [$I$ | $A^{-1}$]

 

b) $\widetilde A$ = [$A$ | $b$]    →   [$I$ | $A^{-1}$]

 

 

* 근이 1개    →   Full Rank    →   Nullity  x    →   Null(A)  x    →    A linearly independent    →    D ≠ 0

 

 

 

2. 근이 ∞ ($Ax = b$)

 

General Solution ( $x = x_p + x_h$ )

 

의미 : ① A linearly dependent 

         ② rank(A) 가 줄어든다

         ③ Nullity 가 줄어든 만큼 발생

         ④ Null(A) 존재