[Linear Algebra] #10 Matrix Eigenvalue Problems

$Ax = \lambda x$     where      $x$ : non-zero vector

                                            → eigenvector of A belongs to $\lambda$

                                      $\lambda$ : scalar

                                            → eigenvalue of A

 

 

 

1. eigenvalue & eigenvector 유도

 

Problems. $Ax = \lambda x$

 

$A$ : 주어진 정보

$\lambda$ : 찾아야할 값

$x$ : 찾아야할 벡터 (non-zero vector)

 

 

 

Derivation.

 

step 1. eigenvalue 찾기

$Ax = \lambda x$    → $Ax$ = $\lambda$ $I x$

                        → [ $A$ - $\lambda$ ] $x$ =  0

                   → $A'x$ =  0   where     $A'$ = $A$ - $\lambda$

                         그러므로,  | $A$ - $\lambda$ | = 0

                                            ↘ characteristic equation

 

 

step 2. $x$ : eigenvector 찾기

어느 특정 eigenvalue $\lambda$ 에 대해

 [ $A$ - $\lambda$ ] $x$ =  0  → ($A$ - $\lambda$)의  Nullspace의 basis vector로 $x$ 를 구한다.

 

 

step 3. eigen pair 구성하기

{$\lambda_1$ , $x_1$  ,  $\lambda_2$ , $x_2$    ···    $\lambda_n$ , $x_n$}

 

 

 

 

Theorem 1」 A square matrix A 의 eigenvalues 들은 char-equ 들의 근이다.

n x n matrix 는 최소 1개의 eigenvalue, 최대 n 개의 eigenvalues 들을 가질 수 있다.

 

 

Theorem 2」 한 $\lambda$ , 즉 eigenvalue 에 해당하는 eigenvectors 들 $w$ , $x$ 는 서로 같은 방향이나, 크기는 다를 수 있다.

$x$ = $\left[\begin{array} {rrr} a \\ b \end{array}\right] $        →        $x$  ∈  span{$\left[\begin{array} {rrr} a \\ b \end{array}\right] $}

 

 

Theorem 3」 Eigenvalues of the transposes

The transpose $A^T$ of a square matrix A has the same eigenvalues as A.

 

 

 

 

 

2. Diagonalization of a matrix

 

a) 구성 방법

 

 

   

b) Matrix diagonalization 의 활용 예

 

 

 

 

3. Algebraic Multiplicity, Geometric Multiplicity, Positive defect

 

① Algebraic Multiplicity : 특정 $\lambda$ 가 몇 중근인가?

Notation : $M_\lambda$

 

② Geometric Multiplicity : 특정 $\lambda$ 에 해당하는 eigenvector $x$ 가 몇 개인가?

Notation : $m_\lambda$

 

③ Positive defect : $M_\lambda$ - $m_\lambda$ = $\Delta_\lambda$

→ Positive defect $\Delta_\lambda$ ≠ 0  →   Matrix A는 defective.