[Linear Algebra] #06 Vector space

1. Vector space

 

Theorem」 Vector space $R^n$

n개의 실수 성분으로 표현되는 모든 vector 들로 이루어진 n차원 공간을 vector space 라고 한다.

 

 

Theorem」 Row space and Column space

Matrix A의 row space 의 차원과 column space 의 차원은 서로 같고 이는 rank(A) 와 같다.

 

① rank(A) = dim( col(A) ) = dim( row(A) )

② rank(A) + Nullity(A) = n(#변수)                             cf) Nullity(A) = dim( Null(A) )

 

 

Note」 row(A), col(A), Nullity(A)

 

· row space : A의 row vector 들로 linear combination 으로 나타낼 수 있는 모든 vector 들의 공간

· col space : A의 column vector 들로 linear combination 으로 나타낼 수 있는 모든 vector 들의 공간

· Null space : Ax = y 의 linear system 에서 Ax = 0 을 만족시키는 모든 x 들의 집합(space)

· Nullity(A) : dim( Null(A) )

 

cf) Nullity(A) ≠ Null(A)

 

 

예제

 

* rank 가 모두 소진되지 않고 살아 남으면

  → A 는 linearly independent

  → rank 는 줄어들지 않는다   → Full rank !

 

* rank 가 일부 소거되어 줄어든다면

  → A 는 linearly dependent

  → rank 는 그만큼 줄어든다   → 줄어든 만큼 Nullity 가 발생 !

 

 

 

2. Null space 의 정의 (in $R^n$ )

 

Def. Null(A) = { x : Ax = 0 }

Ax = 0 을 만족시키는 모든 x 의 해의 공간 ( solution space )

 

 

 

 

3. Row space 의 정의 (in $R^n$ )   

n = #변수

 

Def. Row(A)

matrix A 의 row vector 들의 linear combination 으로 형성된 공간

 

 

 

 

4. Column space 의 정의 (in $R^n$ )   

n = #식

 

Def. Column(A)

matrix A 의 column vector 들의 linear combination 으로 형성된 공간