[Linear Algebra] #09 Inverse of matrix Gauss-Jordan Elimination

1. Determinant + GE* (기존의 GE와 다름)

 

① Row 들 간의 자리 바꿈

② 한 Row x 상수(c)

③ 임의의 Row x 상수 한 것을 다른 Row 에 더하거나 빼도 D 는 변하지 않는다.

 

 

cf) Upper or Lower triangular matrix 로 만들면, Diagonal entries 들의 곱이 Determinant 가 된다.

 

 

 

2. Inverse of matrix Gauss-Jordan Elimination

 

Theorem 2」 Inverse of matrix by Determinants

step 1. cofactor 계산

 

step 2. Det(A) 구하기

 

step 3. $A^{-1}$ 구성

 

 

 

3. Unusual properties of matrix multiplication

 

(1) AB ≠ BA

 

(2) AB ≠ 0 라고 해서 A = 0  or  B = 0 이 아니다.            → Null space 때문에 이러한 현상이 나타난다 !!

 

(3) AC = AD 라고 해서 C = D 가 아니다. (even when A ≠ 0)

 

 

Theorem 3」 Cancellation Laws (소거법칙)

A, B, C 는 n x n matrix 다. 그러면,

(a) 만약 rank(A) = n 이고 AB = AC 이면 B= C 이다.

(b) 만약 rank(A) = n 이면 AB = 0 은 B = 0 를 의미한다.

             그러므로, 만약 AB = 0 이고 A ≠ 0 , B ≠0 이면, rank(A)<n  &  rank(B)<n 이다.

(c) 만약 A 가 singular 이면, BA 와 AB 도 singular 가 된다.

 

 

 

Theorem 4」 Determinant of a product of matrices

n x n matrices , A 와 B 에 대해

det(AB) = det(BA) = det(A)det(B)    →   |AB| = |BA| = |A||B|

 

 

 

 

* Summary

 

A : n x n square matrix , Ax = b

 

☞ case I

 

① A : Full rank, rank(A) = n (근 1개)

② Nullity(A) = 0

③ Null(A) x    →   $x = x_p$ ($x_h$ 없음)

④ A 는 linearly independent

⑤ D ≠ 0

⑥ $A^{-1}$ 이 존재    →   A invertible

⑦ A 는 non-singular matrix

 

 

☞ case II

 

① A : Full rank  x, rank(A) < n

② Nullity(A) ≠ 0

③ Null(A) 존재    →   $x = x_h + x_p$

④ A 는 linearly dependent

⑤ D = 0

⑥ $A^{-1}$ 이 존재 x    →   A non-invertible

⑦ A 는 singular matrix