[Linear Algebra] #05 Linear Independence, Rank of a Matrix, vector space

1. Linear Independence & Dependence

 

· linear dependent

① Rank ↓

② GE 줄 삭제

 

 

 

2. Rank of a matrix

Def. Rank of a matrix

Matrix A 의 Rank 는 Linearly independent 한 최대 A의 row vector 들의 갯수를 의미한다.

 

cf) 만약 Rank(A) = 0 이면 A는 반드시 zero-matrix 가 된다.

     Rank(A) = 0 ↔ A = 0    (필요충분 조건)

 

*왜 Linearly independent 가 중요한가?

의미) truely essential set. 근의 갯수와 밀접한 관계 → rank 에 영향

 

 

 

3. Row equavalent matrices

 

Theorem」 Row equavalent matrices

Row equavalent matrices 들은 같은 Rank 값을 갖는다.

 

$\widetilde A$ = [ $A$   |   $I$ ] →    ···   → [ $I$   |  $A^{-1}$b]

                                              ↘ $I$ 가 나왔다면 Full rank ! (rank 가 지워지지 않고 가득 참)

 

 

Theorem」 Linear Independent & Dependent vectors

A = p x n matrix 일 때, 

만약 rank(A) = p 이면, Linearly independent !

만약 rank(A) < p 이면, 이 들 row vector 들은 Linearly dependent !

 

 

Theorem」 Rank in terms of column vectors

rank(A) = rank($A^T$)

 

 

 

4. Space

 

· 1-Dimensional space (kg-space)

 

① Basis : 1 kg

② Span : 36 kg = 36 x 1 kg

③ Dimension : basis 개수 ( 1차원 )

 

 

· 2-Dimensional space

 

① Basis : [ 1  0 ] = b1,  [ 0  1 ] = b2      → 각 basis 끼리 선형 독립 !

② Span : [ 3  6 ] = 3b1 + 6b2

③ Dimension : basis 개수 ( 2차원 )