[Linear Algebra] #11 Symmetric, Skew-symmetric and Orthogonal matrices

1. Symmetric, Skew-symmetric and Orthogonal matrices

 

Def. Symmetric, Skew-symmetric and Orthogonal matrices

A real square matrix $A$ = [$a_jk$] is called symmetric : $A^T$ = $A$ 

                                                                  skew-symmetric : $A^T$ = -$A$    

                                                                  orthogonal : $A^T$ = $A^{-1}$  →  $AA^T$ = $I$

 

 

cf) skew-symmetric : 대각선 성분들이 모두 0인 특성을 가짐

 

cf) 모든 matrix 는 R + S 로 나타낼 수 있다.

     R : symmetric matrix  →  $1/2$($A$ + $A^T$)

     S : skew-symmetric matrix  →  $1/2$($A$ - $A^T$)

 

 

 

Theorem 1」 Eigenvalues of symmetric & skew-symmetric matrices

a) The symmetric matrix 의 eigenvalues 들은 real 값이다.

b) The skew-symmetric matrix 의 eigenvalues 들은 pure imaginary 또는 zero 다.

 

 

 

 

 

2. Orthogonal Transformations and Orthogonal matrices

 

(1) Orthogonal transformations