[Linear Algebra] #03 Gauss Elimination & Back Substitution

왜 사용하는가?   Ax = b 를 푸는 방법으로 GE 를 사용!

 

 

 

1. Gauss Elimination & Back Substitution

 

(1) 일반식을 행렬식으로 변환

 

 

(2) Augmented Matrix 로 만들기

 

 

(3) Gauss Elimination 수행

 

 

(4) 해 구하기

 

 

 

 

2. Elementary Row Operation (←Gauss Elimination)

 

① Junction of two rows. (두 행 교환)

 

② Addition of constant multiplo of one row. (한 행의 상수배를 다른 행에 더함)

                          ↘ to another row

 

③ Multiplication of a row by a non-zero constant C. ( 한 행에 0이 아닌 상수배)

 

 

 

3. Gauss Elimination : The three cases of system

 

· case 1. 해가 무수히 많은 경우

 

 

· case 2. 해가 존재하지 않는 경우

 

 

· case 3. 해가 하나만 존재하는 경우(uniqueness)

 

 

 

 

4. Row Echelon(사다리꼴) Form and Information from it

 

· Row Echelon form

 

 

· Reduced row echelon form

 

 

· Rank of A

 

r : rank(A)

m : #변수

 

a) 해가 없는 경우 ( r < m, contradiction )

 

* rank($A$) ≠ rank($\widetilde A$)

 

 

 

b) 해가 유일한 경우 ( r = m, contradiction )

 

* rank($A$) = rank($\widetilde A$)    →     근 존재!!

 

 

 

c) 해가 무한히 많은 경우 ( r < m, contradiction X )

 

* rank($A$) = rank($\widetilde A$)   →     근 존재!!